Ta strona należy do działu: Matematyka poddziału CiągiStronę tą wyświetlono już: 1722 razy Wstęp W celu poprawnego zrozumienia dalszej części tej strony, należy zrozumieć istotę zdania prawie wszystkie wyrazy ciągu, które oznacza elementy ciągu nieskończonego z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczy wyrazów. Jest to istotne, gdyż w dalszej części tej strony dla uproszczenia (skrócenia) niektórych definicji będę posługiwał się zdaniem prawie wszystkie wyrazy ciągu. Granica właściwa ciągu Liczba q jest granicą ciągu nieskończonego (an), jeżeli do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (an), co zapisuje się: [1] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: a_n\rightarrow g lub [2] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g Matematyczny zapis powyższej definicji granicy właściwej ciągu: [3] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g\Leftrightarrow \bigwedge_{\varepsilon> 0}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}|a_n-g| m}a_n>M Poniżej pokazana została interpretacja graficzna powyższej definicji dla przykładowego ciągu. Jak widać prawie wszystkie elementy tegoż ciągu leżą powyżej obranej wartości M = 3. Co ważne, niezależnie od tego jaką wartość przyjmie M i tak zawsze nieskończona liczba elementów tego ciągu będzie się nad nią mieściła. 012345678910012345678910Punkty ciąguM = 3 Rys. 1 Przykład ciągu posiadającego granicę niewłaściwą w +∞ Źródło: Ciąg an jest rozbieżny → -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie elementy ciągu są mniejsze od M, co zapisuje się: [6] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty Zapis matematyczny powyższej definicji: [7] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty\Rightleftarrow \bigwedge_{M\in R}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}a_n Jeżeli dany jest ciąg (an), dla którego wartości bezwzględnej granica jest równa &infty; dla n → &infty; to granica ciągu odwrotego będzie równa 0 co zapisać można w następujący sposób: [8] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_n}=0 Jeżeli dany jest ciąg (an), którego każdy element jest większy od zera i granica takiego ciągu jest równa zero to granica ciągu odwrotnego tego ciągu będzie równa +∞ co zapisać można w następujący sposób: [9] Zapis wyrażenia w formacie TeX-a: \left(\bigwedge_{n\in N^+}a_n>0 \wedge \lim_{n\rightarrow\infty}=0\right)\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_n}=+\inftyPropozycje książek